Calculando el grado de hiperestaticidad estática SSN y seleccionamos el sistema básico del método de fuerzas UPMS. SSN=6-3-1=2 En términos de grado de hiperestaticidad estática, este ejemplo es un poco específico porque tenemos dos reacciones verticales a lo largo de la barra AC. Esta es una hiperestaticidad axial que no resolveremos con el método de fuerzas, sino que lo resolveremos en la etapa de cálculo de las fuerzas normales a partir de la condición geométrica. A pesar de esto, resolveremos este sistema como si fuera hiperestático dos veces, pero como veremos en un momento, uno de los estados unitarios será cero, por lo que es como si estuviéramos calculando un sistema con SSN=1.

UPMS

Dibujamos los diagramas de fuerza interna y el diagrama de carga externa.

Estado X1=1

Estado X2=1

Estado P

Si tiene problemas para dibujar los diagramas de momentos, le recomendamos que consulte este tutorial en video (HAGA CLIC)

Calculamos los coeficientes y términos independientes de las ecuaciones canónicas del método de fuerzas

Para obtener más información sobre la integración, consulte nuestra Introducción teórica de este tema
\begin{aligned} & \delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot(0) \\ & \delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4+\frac{12}{7} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8+\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot \frac{12}{7} \cdot 3+\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\right)=\frac{1929}{49} \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ & \delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot(0) \quad \delta_{21}=\delta_{12} \\ & \Delta_{1P}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot(0) \\ \end{aligned} \( \Delta_{2P}= \)
\begin{aligned} & \Delta_{2 P}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 36+\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 20-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 16+\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 36-\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 60-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 3 \cdot 60\right) \\ & \Delta_{2 P}=-\frac{1392}{7} \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned}

Resolvemos el sistema de ecuaciones canónicas y calculamos X1 y X2.

\begin{aligned} &\delta_{11}\cdot{x_1}+\delta_{12}\cdot{x_2}+\delta_{1P}=0 \\ &\delta_{21}\cdot{x_1}+\delta_{22}\cdot{x_2}+\delta_{2P}=0 \\ \end{aligned} \begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} 0 \cdot x_1+0 \cdot x_2+0=0 \\ 0 \cdot x_1+\frac{1929}{49 EI} \cdot x_2-\frac{1392}{7 EI}=0 \end{array}\right. \\ & \left\{\begin{array}{l} 0=0 \\ x_2=5,05 \mathrm{kN} \end{array}\right. \end{aligned}

Calculamos el momento final usando la fórmula de superposición

\begin{aligned} &M_{NST}=M_P+M_1\cdot{X_1}+M_2\cdot{X_2}\\ \end{aligned} Sumamos los diagramas

Diagrama de momento máximo

Cálculos para el diagrama de cortante

\begin{aligned} & \sum M_A=0 \\ & -20+44,657+8 \cdot 4 \cdot 2+ \\ & +Q_B \cdot 4=0 \\ & Q_B=-22,164 \mathrm{kN} \\ & \sum x=0 \\ & Q_B+8 \cdot 4-Q_A=0 \\ & Q_A=9,836 \mathrm{kN} \end{aligned} Extremo en el diagrama de momentos \begin{aligned} \frac{9,836}{x} & =\frac{22,164}{4-x} \\ x & =1,23 \mathrm{~m} \end{aligned} \begin{aligned} \text { Momento máximo }=-20+Q_A \cdot x-8 \cdot \frac{x^2}{2}=-13,953 \mathrm{kNm} \end{aligned}

\begin{aligned} & \sum M_B=0 \\ & Q_C \cdot 3+15,15=0 \\ & Q_C=-5,05 \mathrm{kN} \\ & \sum X=0 \\ & Q_B=Q_C \end{aligned}

\begin{aligned} & \sum M_B=0 \\ & -44,657-51,343+ \\ & +Q_D \cdot 8=0 \\ & Q_D=12 \mathrm{kN} \\ & \sum y=0 \\ & Q_B=Q_D \end{aligned}

\begin{aligned} & \sum M_D=0 \\ & 51,343+Q_E \cdot 3=0 \\ & Q_E=-17,114 \mathrm{kN} \\ & \sum x=0 \\ & Q_D=Q_E \end{aligned}

Diagrama de cortante

Cálculos para el diagrama de fuerza normal

Nodo B \begin{aligned} & \sum x=0 \\ & -5,05+22,164+ \\ & +N_{B D}=0 \\ & N_{B D}=-17,114 \mathrm{kN} \\ & \sum y=0 \\ & N_{B C}-12-N_{A B}=0 \\ & * N_{B C}=12+N_{A B} \\ \end{aligned} aquí tenemos esta hiperestaticidad que mencionamos al principio

Nodo D \begin{gathered} \sum x=0 (\text { tendido }) \\ -N_{B D}-17,114=0 \\ 0=0 \\ \sum y=0 \\ 12+N_{D E}-12=0 \\ N_{D E}=0 \mathrm{kN} \end{gathered}

Resolviendo la hiperestaticidad axial (condición geométrica)

La fuerza cortante de 12 kN y su dirección nos dicen en qué dirección se desplazará el nodo B, y por lo tanto qué barra estará en tensión y cuál en compresión.
La elongación de la barra BC es igual a la compresión de la barra AB - y esa es la condición geométrica.
Recordemos la fórmula para la elongación/compresión de la barra: \( \Delta_L = \frac{N\cdot L}{EA} \)

\begin{aligned} & \Delta L_{A B}=\Delta L_{B C} \\ & \frac{-N_{A B} \cdot 4}{E A}=\frac{N_{B C} \cdot 3}{E A} \\ & -4 N_{A B}=3 N_{B C} \\ & N_{A B}=-0,75 N_{B C} \\ & * N_{B C}=12-0,75 N_{B C} \\ & \left\{\begin{array}{l} N_{B C}=6,857 \mathrm{kN} \\ N_{A B}=-5,143 \mathrm{kN} \end{array}\right. \\ & \end{aligned}

Diagrama de fuerza normal final

Comprobación cinemática

\( \delta_i=\int \frac{Most \cdot \overline{M_i}}{EI} d S=0 \)

\begin{aligned} & \delta_2=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\begin{array}{l} \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 15 \cdot 15+\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 44.657+\frac{1}{6} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 20-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 4 \cdot 16+\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 44.657- \\ -\frac{1}{2} \cdot \frac{12}{7} \cdot 8 \cdot 51.343-\frac{1}{3} \cdot \frac{12}{7} \cdot 3 \cdot 51.343 \end{array}\right) \\ & \delta_2=-0.055 \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} Error relativo
\( \left|\frac{\delta_2}{\Delta_{2 p}}\right|=0.027 \% \quad<1,5 \% \)

Comprobación estática

Leemos las reacciones (valores y direcciones correctas) de los diagramas de fuerza normal, cortante y momento flexionante.
Luego escribimos las ecuaciones de equilibrio estático y comprobamos si todas las ecuaciones se cumplen para las reacciones leídas.
\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{x}=0 \\ & -5.05-17.114+8 \cdot 4-9.836=-0 \\ & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & 5.143+6.857-12=0 \\ & \Sigma \mathrm{M}_{\mathrm{D}}=0 \\ & -17.114 \cdot 3-5.05 \cdot 3+6.857 \cdot 8+15.15-8 \cdot 4 \cdot 2+9.836 \cdot 4+5.143 \cdot 8-20=0.002 \sim 0 \end{aligned}