Grado de indeterminación estática

SSN=3-3=0

Número de grados de libertad dinámicos

LSSD=2
\( m_1=m\\ m_2=2m\)

Gráficos de momentos de fuerzas unitarias aplicadas en el lugar de los grados de libertad dinámicos

Deltas dinámicas $$ \begin{aligned} &\delta_{11}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\right)=9 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{22}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2\right)=\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{12}=\frac{1}{\mathrm{EI}} \cdot\left(\frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2+\frac{1}{6} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2\right)=\frac{14}{3} \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ Frecuencias de vibración (atención, hay varios enfoques para calcular las frecuencias de vibración, más en la introducción teórica - LINK) $$ \mathrm{L}=\mathrm{m}_1 \cdot \delta_{11}+\mathrm{m}_2 \cdot \delta_{22}=\frac{43}{3} \cdot \frac{\mathrm{m}}{\mathrm{EI}} $$ $$ \begin{aligned} &\mathrm{S}=2 \cdot \mathrm{m}_1 \cdot \mathrm{m}_2 \cdot\left(\delta_{11} \cdot \delta_{22}-\delta_{12}^2\right)=\frac{80}{9} \cdot\left(\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{EI}}\right)^2 \\ &\omega_1=\sqrt{\frac{\mathrm{L}-\sqrt{\mathrm{L}^2-2 \cdot \mathrm{S}}}{\mathrm{S}}}=0.267 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \\ &\omega_2=\sqrt{\frac{\mathrm{L}+\sqrt{\mathrm{L}^2-2 \cdot \mathrm{S}}}{\mathrm{S}}}=1.776 \cdot \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \end{aligned} $$ Sustituyendo los datos \( \quad \mathrm{EI}=2.1 \times 10^5 \cdot \mathrm{kNm}^2 \quad \mathrm{~m}=200 \mathrm{~kg} \) $$ \begin{aligned} &\omega_1=0.267 \sqrt{\frac{2.1 \cdot 10^5 \cdot 10^3}{200}}=273.59 \cdot \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \\ &\omega_2=1.776 \sqrt{\frac{2.1 \cdot 10^5 \cdot 10^3}{200}}=1819.86 \cdot \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} \end{aligned} $$ Amplitudes de vibración (más sobre el enfoque para calcular las amplitudes de vibración en la introducción - LINK) $$ \mathrm{A}_2=\frac{1-\delta_{11} \cdot \mathrm{m}_1 \cdot \omega^2}{\delta_{12} \cdot \mathrm{m}_2 \cdot \omega^2} \cdot \mathrm{A}_1 $$ suponiendo \( \quad \mathrm{A}_{11}=1 \quad dla \quad \omega_1=0.267 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \) $$ \mathrm{A}_{21}=\frac{1-\frac{9}{\mathrm{EI}} \cdot 1 \mathrm{~m} \cdot\left(0.267 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2}{\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot 2 \mathrm{~m} \cdot\left(0.267 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2} \cdot \mathrm{A}_{11}=0.539 $$ suponiendo \( \quad \mathrm{A}_{12}=1 \quad dla \quad \omega_2=1.776 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}} \) $$ \mathrm{A}_{22}=\frac{1-\frac{9}{\mathrm{EI}} \cdot 1 \mathrm{~m} \cdot\left(1.776 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2}{\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot 2 \mathrm{~m} \cdot\left(1.776 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2} \cdot \mathrm{A}_{12}=-0.93 $$ Condición de ortogonalidad $$ \mathrm{A}_{11} \cdot \mathrm{A}_{12} \cdot \mathrm{m}_1+\mathrm{A}_{21} \cdot \mathrm{A}_{22} \cdot \mathrm{m}_2=0 $$ \( 1 \cdot 1 \cdot 1 \mathrm{~m}+0.539 \cdot(-0.93) \cdot 2 \mathrm{~m}=0 \)
\( -0.002 m \sim 0 \)
condición satisfecha.

Formas de vibración

Fuerzas de inercia (consulte la introducción teórica) $$ \begin{aligned} &\delta_{11 \mathrm{~B}} \cdot \mathrm{B}_1+\delta_{12} \cdot \mathrm{B}_2+\Delta_{1 \mathrm{p}}=0 \\ &\delta_{21} \cdot \mathrm{B}_1+\delta_{22 \mathrm{~B}} \cdot \mathrm{B}_2+\Delta_{2 \mathrm{p}}=0 \end{aligned} $$ Frecuencia forzada $$ \begin{aligned} &\theta=\frac{\omega_1+\omega_2}{2} \\ &\theta=\frac{1}{2}\left(0.267 \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}}+1.776 \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}}\right)=1.022 \cdot \sqrt{\frac{\text { EI }}{m}} \end{aligned} $$ Deltas de inercia $$ \begin{aligned} &\delta_{11 \mathrm{~B}}=\delta_{11}-\frac{1}{\mathrm{~m}_1 \cdot \theta^2} \\ &\delta_{11 \mathrm{~B}}=\frac{9}{\mathrm{EI}}-\frac{1}{\mathrm{~m} \cdot\left(1.022 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2}=8.043 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\delta_{22 \mathrm{~B}}=\delta_{22}-\frac{1}{\mathrm{~m}_2 \cdot \theta^2} \\ &\delta_{22 \mathrm{~B}}=\frac{8}{3 \mathrm{EI}}-\frac{1}{2 \mathrm{~m} \cdot\left(1.022 \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\mathrm{m}}}\right)^2}=2.188 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\Delta_{1 \mathrm{p}}=\delta_{11} \cdot \mathrm{P}_{01}+\delta_{12} \cdot \mathrm{P}_{02} \\ &\Delta_{2 \mathrm{p}}=\delta_{21} \cdot \mathrm{P}_{01}+\delta_{22} \cdot \mathrm{P}_{02} \\ &\text{donde:} \\ &\mathrm{P}_{01}=\mathrm{P}=10 \cdot \mathrm{kN} \quad \text{- fuerza forzante en la dirección q1} \\ &\mathrm{P}_{02}=0 \quad \text{- fuerza forzante en la dirección q2} \\ \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\Delta_{1 \mathrm{p}}=\frac{9}{\mathrm{EI}} \cdot \mathrm{P}_{01}+\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{P}_{02}=90 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \\ &\Delta_{2 \mathrm{p}}=\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{P}_{01}+\frac{8}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{P}_{02}=46.667 \cdot \frac{1}{\mathrm{EI}} \end{aligned} $$ Resolviendo el sistema de ecuaciones, calculando las fuerzas de inercia $$ \begin{aligned} &\frac{8.043}{\mathrm{EI}} \cdot \mathrm{B}_1+\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{B}_2+\frac{90}{\mathrm{EI}}=0 \\ &\frac{14}{3 \mathrm{EI}} \cdot \mathrm{B}_1+\frac{2.188}{\mathrm{EI}} \cdot \mathrm{B}_2+\frac{46.667}{\mathrm{EI}}=0 \end{aligned} $$ $$ \begin{aligned} &\mathrm{B}_1=-4.99 \cdot \mathrm{kN} \\ &\mathrm{B}_2=-10.68 \cdot \mathrm{kN} \end{aligned} $$ Plan de fuerzas
En el plan de fuerzas, marcamos la carga del marco a partir de la fuerza forzante, el peso de la masa y las fuerzas de inercia calculadas.
Dado que el movimiento de la fuerza forzante es de naturaleza sinusoidal, esto significa que en los casos extremos la fuerza está inclinada hacia un lado o hacia el otro con todo su valor.
Lo marcamos en el dibujo, en el primer dibujo marcamos la dirección según lo indicado en el tema, en el segundo dibujo la dirección inversa.
Luego marcamos las fuerzas de inercia - en el primer dibujo las direcciones de las fuerzas de inercia son consistentes con las direcciones q1 y q2 establecidas al principio del problema (ver dibujo inicial); en el segundo dibujo las direcciones son opuestas (cambian de dirección de la misma manera que la fuerza forzante).
Una vez más, independientemente de si B1 y B2 son positivos o negativos, marcamos las direcciones como se indicó anteriormente. El signo de las fuerzas de inercia determina si una dirección dada se mantiene (si la fuerza es positiva) o si debe cambiarse (si la fuerza es negativa).
Peso de la masa - para calcularlo, multiplicamos la masa por la aceleración gravitacional g. Direcciones en ambos dibujos son consistentes con la fuerza de gravedad: vertical hacia abajo.
$$ \mathrm{mg}=0.200 \cdot 9.81=1.96 \cdot \mathrm{kN} $$

\begin{aligned} &\left\{\begin{array} { l } { \mathrm { x } _ { 1 } = \mathrm { P } + \mathrm { B } _ { 1 } + \mathrm { mg } } \\ { \mathrm { x } _ { 2 } = \mathrm { B } _ { 2 } + 2 \mathrm { mg } } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x}_1=-\mathrm{P}-\mathrm{B}_1+\mathrm{mg} \\ \mathrm{x}_2=-\mathrm{B}_2+2 \mathrm{mg} \end{array}\right.\right.\\ \\ \\ &\left\{\begin{array} { l } { \mathrm { x } _ { 1 } = 6 . 9 7 2 \mathrm { kN } } \\ { \mathrm { x } _ { 2 } = - 6 . 7 5 6 \mathrm { kN } } \end{array} \quad \left\{\begin{array}{l} \mathrm{x}_1=-3.048 \mathrm{kN} \\ \mathrm{x}_2=14.604 \mathrm{kN} \end{array}\right.\right. \end{aligned}