Dla brzegu 1-4 możemy obliczę temperaturę w węzłach:

\begin{aligned} & T(x, y)=3.6 \cdot(x+y) \\ & T_1=T(0,0)=0 \\ & T_4=T(0, h)=12.96 \end{aligned}

Stąd odpowiedź na pytanie 1 - \(T_4=12.96\)

Dla poszczególnych elementów:

\begin{aligned} & A_1=\frac{1}{2} h \cdot h=6.48 \\ & f_1=\frac{Q}{3} \cdot A_1 \cdot\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 54 \\ 54 \\ 54 \end{array}\right] \\ & A_2=\frac{1}{2} 2 h \cdot h=12.96 \\ & f_2=\frac{Q}{3} \cdot A_1 \cdot\left[\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} 54 \\ 54 \\ 54 \end{array}\right] \end{aligned}

Wektor dla całego układu możemy obliczyć albo zauważając że wektory f dla poszczególnych elementów mają następujące węzły [1] -> 2,3,4 oraz [2] -> 1,2,4 więc możemy zsumować je wprost:

\begin{aligned} f=\left[\begin{array}{r} 54 \\ 108 \\ 54 \\ 108 \end{array}\right] \end{aligned}

W wersji komputerowej skorzystalibyśmy z wektorów allokacji i wzoru poniżej:

\begin{aligned} \text { all }_1=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \end{aligned} \begin{aligned} \text { all }_2=\left[\begin{array}{lll} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \end{aligned} \begin{aligned} &f=\text { all }_1 \cdot f_1+\text { all }_2 \cdot f_2=\left[\begin{array}{r} 54 \\ 108 \\ 54 \\ 108 \end{array}\right] \end{aligned}

Stąd odpowiedź na pytanie 2 - drugi współczynnik wektora obciqżenia elementu [1] - \(f^1_{2}=108\)

Analogicznie dla macierzy sztywności:

\begin{aligned} K_1 & =27 \cdot\left[\begin{array}{ccc} 1 & -0.5 & -0.5 \\ -0.5 & 0.5 & 0 \\ -0.5 & 0 & 0.5 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 27 & -13.5 & -13.5 \\ -13.5 & 13.5 & 0 \\ -13.5 & 0 & 13.5 \end{array}\right] \\ \end{aligned} \begin{aligned} K_2 & =27 \cdot\left[\begin{array}{ccc} 0.5 & 0 & -0.5 \\ 0 & 0.5 & -0.5 \\ -0.5 & -0.5 & 1 \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 13.5 & 0 & -13.5 \\ 0 & 13.5 & -13.5 \\ -13.5 & -13.5 & 27 \end{array}\right] \end{aligned} \begin{aligned} &K=\text { all }_1 \cdot K_1 \cdot \text { all }_1{ }^{\mathrm{T}}+\text { all }_2 \cdot K_2 \cdot \text { all }_2{ }^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cccc} 27 & -13.5 & 0 & -13.5 \\ -13.5 & 40.5 & -13.5 & -13.5 \\ 0 & -13.5 & 13.5 & 0 \\ -13.5 & -13.5 & 0 & 27 \end{array}\right] \end{aligned}

Oczywiście ręcznie nie korzystamy z wektorów allokacji tylko "mapujemy" poszczególne elementy macierzy elementów na macierz globalną:

Tak czy inaczej odpowiedź na pytanie 3 - \(K_{22}=40.5\)