Aproksymacja stopnia 1 -> p=1, zapisujemy wszystkie wartości funkcji korzystając z rozwinięcia w szereg Taylora względem węzła 1:

\begin{aligned} & \bar{y}_2 = y_1 + h \cdot y_1^{\prime} & \quad s = 0 \\ & y_2^{\prime} = y_1^{\prime} & \quad s = 1 \end{aligned}

Następnie zapisujemy funkcję błędu

\begin{aligned} & J = \left(y_2 - y_2\right)^2 \cdot \frac{1}{\left(h^2\right)^{1+1-0}} + \left(\overline{y_2^{\prime}} - y_2^{\prime}\right)^2 \cdot \frac{1}{\left(h^2\right)^{1+1-1}} \\ & J = \left(y_1 + h \cdot y_1^{\prime} - y_2\right)^2 \cdot \frac{1}{\left(h^2\right)^{1+1-0}} + \left(y_1^{\prime} - y_2^{\prime}\right)^2 \cdot \frac{1}{\left(h^2\right)^{1+1-1}} \\ & J = \frac{\left(y_1^{\prime} \cdot h + \left(y_1 - y_2\right)\right)^2}{h^4} + \frac{\left(-y_2^{\prime} + y_1^{\prime}\right)^2}{h^2} \end{aligned}

Minimalizacja i końcowe obliczenia:

\begin{aligned} & \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} y_1^{\prime}}\left(\frac{\left(y_1^{\prime} \cdot h+\left(y_1-y_2\right)\right)^2}{h^4}+\frac{\left(-y_2^{\prime}+y_1^{\prime}\right)^2}{h^2}\right)=0 \\ & \frac{\left(-\left(2 \cdot y_2^{\prime}\right)+4 \cdot y_1^{\prime}\right) \cdot h+\left(2 \cdot y_1-2 \cdot y_2\right)}{h^3}=0 \\ & y_1^{\prime}=\frac{y_2^{\prime} \cdot h+y_2-y_1}{2 \cdot h} \end{aligned}