Solution
Il est utile de se familiariser avec l'introduction théorique concernant les arcs circulaires. Cette introduction est basée sur une discussion partielle, plus détaillée de cet exemple.
Équations d'équilibre statique \begin{aligned} &\sum{x}=0 & H_A-4,698=0 && H_A=4,698 \ kN\\ &\sum{M_A}=0 & 3\cdot 4\cdot 2+1,71\cdot 6-4,698\cdot 2\sqrt3-V_B\cdot 8=0 && V_B=2,248 \ kN\\ &\sum{y}=0 & V_A-3\cdot 4-1,71+2,248=0 && V_A=11,462 \ kN\\ \end{aligned}
Projection de la réaction VB sur les composantes normale et tangentielle à la section imaginaire de l'arc.
Nous dépendons des variables x et y de l'angle alpha.
\begin{aligned} &\frac{x}{4}=cos\alpha\\ &x=4cos\alpha\\ &\frac{y}{4}=sin\alpha\\ &y=4sin\alpha\\ \end{aligned} Fonctions des forces internes dans le premier intervalle.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-2,248 cos\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248 sin\alpha\\ &M(\alpha)=2,248 (4-x)=8,992-8,992 cos\alpha\\ \end{aligned} Nous vérifions les valeurs des forces internes pour l'angle alpha tous les 15 degrés. Il est pratique de présenter les résultats dans un tableau.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[{ }^0\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0.000 & 1.000 & 2.248 & 0.000 & 0.000 \\ \hline 15 & 0.259 & 0.966 & 2.171 & -0.582 & 0.306 \\ \hline 30 & 0.500 & 0.866 & 1.947 & -1.124 & 1.205 \\ \hline 45 & 0.707 & 0.707 & 1.590 & -1.590 & 2.634 \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & 1.124 & -1.947 & 4.496 \\ \hline \end{array}
Fonctions des forces internes dans le deuxième intervalle.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-2,248 cos\alpha+1,71 cos\alpha-4,698 sin\alpha=-0,538 cos\alpha-4,698 sin\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248\cdot sin\alpha+1,71\cdot sin\alpha+4,698 cos\alpha=-0,583 sin\alpha+4,698 cos\alpha\\ &M(\alpha)=2,248\cdot (4-x)-1,71\cdot (2-x)-4,698(y-2\sqrt3)=\\ &=8,992-8,992\cdot cos\alpha-3,42+6,84\cdot cos\alpha-18,792 sin\alpha+16,274=\\ &=21,848-2,152 cos\alpha-18,792 sin\alpha\\ \end{aligned} Nous vérifions les valeurs des forces internes pour l'angle alpha tous les 15 degrés. Il est pratique de présenter les résultats dans un tableau.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[^{\circ}\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & -4.338 & 1.883 & 4.496 \\ \hline 75 & 0.966 & 0.259 & -4.677 & 0.696 & 3.139 \\ \hline 90 & 1.000 & 0.000 & -4.698 & -0.538 & 3.056 \\ \hline \end{array}
Fonctions des forces internes dans le troisième intervalle.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-11,462\cdot cos\alpha -4,698\cdot sin\alpha+3\cdot (4-x) cos\alpha=\\ &=-11.462\cdot cos\alpha-4,698\cdot sin\alpha+12\cdot cos\alpha-12cos^2 \alpha=\\ &=0,538\cdot cos\alpha-4,698\cdot sin\alpha-12\cdot cos^2 \alpha\\ \\ &T(\alpha)=11,462\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha-3\cdot (4-x)\cdot sin\alpha=\\ &=11,462\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha-12\cdot sin\alpha+12\cdot sin\alpha cos\alpha=\\ &=-0,538\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha+12\cdot sin\alpha cos\alpha\\ &M(\alpha)=11,462\cdot (4-x)-4,698y-3\cdot(4-x\cdot \frac{1}{2}(4-x)=\\ &=45,848-45,848\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-1,5(16-8x+x^2)=\\ &=45,848-45,848\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-24+48\cdot cos\alpha-24cos^2 \alpha=\\ &21,848+2,152\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-24\cdot cos^2 \alpha\\ \end{aligned} Nous vérifions les valeurs des forces internes pour l'angle alpha tous les 15 degrés. Il est pratique de présenter les résultats dans un tableau.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[^{\circ}\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0.000 & 1.000 & -11.462 & -4.698 & 0.000 \\ \hline 15 & 0.259 & 0.966 & -11.892 & -1.677 & -3.329 \\ \hline 30 & 0.500 & 0.866 & -10.883 & 0.859 & -3.684 \\ \hline 45 & 0.707 & 0.707 & -8.942 & 2.298 & -1.918 \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & -6.800 & 2.381 & 0.650 \\ \hline 75 & 0.966 & 0.259 & -5.203 & 1.264 & 2.646 \\ \hline 90 & 1.000 & 0.000 & -4.698 & -0.538 & 3.056 \\ \hline \end{array}
Calcul des réactions d'appui
Nous utilisons les équations d'équilibre des forces et des moments pour déterminer les réactions aux appuis.
Équations d'équilibre statique \begin{aligned} &\sum{x}=0 & H_A-4,698=0 && H_A=4,698 \ kN\\ &\sum{M_A}=0 & 3\cdot 4\cdot 2+1,71\cdot 6-4,698\cdot 2\sqrt3-V_B\cdot 8=0 && V_B=2,248 \ kN\\ &\sum{y}=0 & V_A-3\cdot 4-1,71+2,248=0 && V_A=11,462 \ kN\\ \end{aligned}
Intervalle I - \(\alpha \in (0;60)\)
Nous résolvons les forces internes dans l'arc dans l'intervalle angulaire de 0 à 60 degrés.
Projection de la réaction VB sur les composantes normale et tangentielle à la section imaginaire de l'arc.
Nous dépendons des variables x et y de l'angle alpha.
\begin{aligned} &\frac{x}{4}=cos\alpha\\ &x=4cos\alpha\\ &\frac{y}{4}=sin\alpha\\ &y=4sin\alpha\\ \end{aligned} Fonctions des forces internes dans le premier intervalle.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-2,248 cos\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248 sin\alpha\\ &M(\alpha)=2,248 (4-x)=8,992-8,992 cos\alpha\\ \end{aligned} Nous vérifions les valeurs des forces internes pour l'angle alpha tous les 15 degrés. Il est pratique de présenter les résultats dans un tableau.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[{ }^0\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0.000 & 1.000 & 2.248 & 0.000 & 0.000 \\ \hline 15 & 0.259 & 0.966 & 2.171 & -0.582 & 0.306 \\ \hline 30 & 0.500 & 0.866 & 1.947 & -1.124 & 1.205 \\ \hline 45 & 0.707 & 0.707 & 1.590 & -1.590 & 2.634 \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & 1.124 & -1.947 & 4.496 \\ \hline \end{array}
Intervalle II - \(\alpha \in (60;90)\)
Nous résolvons les forces internes dans l'arc dans l'intervalle angulaire de 60 à 90 degrés.
Fonctions des forces internes dans le deuxième intervalle.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-2,248 cos\alpha+1,71 cos\alpha-4,698 sin\alpha=-0,538 cos\alpha-4,698 sin\alpha\\ &T(\alpha)=-2,248\cdot sin\alpha+1,71\cdot sin\alpha+4,698 cos\alpha=-0,583 sin\alpha+4,698 cos\alpha\\ &M(\alpha)=2,248\cdot (4-x)-1,71\cdot (2-x)-4,698(y-2\sqrt3)=\\ &=8,992-8,992\cdot cos\alpha-3,42+6,84\cdot cos\alpha-18,792 sin\alpha+16,274=\\ &=21,848-2,152 cos\alpha-18,792 sin\alpha\\ \end{aligned} Nous vérifions les valeurs des forces internes pour l'angle alpha tous les 15 degrés. Il est pratique de présenter les résultats dans un tableau.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[^{\circ}\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & -4.338 & 1.883 & 4.496 \\ \hline 75 & 0.966 & 0.259 & -4.677 & 0.696 & 3.139 \\ \hline 90 & 1.000 & 0.000 & -4.698 & -0.538 & 3.056 \\ \hline \end{array}
Intervalle III - Changement de système de coordonnées \(\alpha \in (0;90)\)
Nous changeons le système de coordonnées, considérons la section en vue de gauche et recalculons les forces internes sur l'ensemble de l'intervalle angulaire.
Fonctions des forces internes dans le troisième intervalle.
\begin{aligned} &N(\alpha)=-11,462\cdot cos\alpha -4,698\cdot sin\alpha+3\cdot (4-x) cos\alpha=\\ &=-11.462\cdot cos\alpha-4,698\cdot sin\alpha+12\cdot cos\alpha-12cos^2 \alpha=\\ &=0,538\cdot cos\alpha-4,698\cdot sin\alpha-12\cdot cos^2 \alpha\\ \\ &T(\alpha)=11,462\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha-3\cdot (4-x)\cdot sin\alpha=\\ &=11,462\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha-12\cdot sin\alpha+12\cdot sin\alpha cos\alpha=\\ &=-0,538\cdot sin\alpha-4,698\cdot cos\alpha+12\cdot sin\alpha cos\alpha\\ &M(\alpha)=11,462\cdot (4-x)-4,698y-3\cdot(4-x\cdot \frac{1}{2}(4-x)=\\ &=45,848-45,848\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-1,5(16-8x+x^2)=\\ &=45,848-45,848\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-24+48\cdot cos\alpha-24cos^2 \alpha=\\ &21,848+2,152\cdot cos\alpha-18,792\cdot sin\alpha-24\cdot cos^2 \alpha\\ \end{aligned} Nous vérifions les valeurs des forces internes pour l'angle alpha tous les 15 degrés. Il est pratique de présenter les résultats dans un tableau.
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \alpha\left[^{\circ}\right] & \sin \alpha & \cos \alpha & \mathrm{N}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{T}(\alpha)[\mathrm{kN}] & \mathrm{M}(\alpha)[\mathrm{kNm}] \\ \hline 0 & 0.000 & 1.000 & -11.462 & -4.698 & 0.000 \\ \hline 15 & 0.259 & 0.966 & -11.892 & -1.677 & -3.329 \\ \hline 30 & 0.500 & 0.866 & -10.883 & 0.859 & -3.684 \\ \hline 45 & 0.707 & 0.707 & -8.942 & 2.298 & -1.918 \\ \hline 60 & 0.866 & 0.500 & -6.800 & 2.381 & 0.650 \\ \hline 75 & 0.966 & 0.259 & -5.203 & 1.264 & 2.646 \\ \hline 90 & 1.000 & 0.000 & -4.698 & -0.538 & 3.056 \\ \hline \end{array}
Graphiques des forces internes sur l'arc
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