Wytrzymałość materiałów - Twierdzenie Castigliano
Twierdzenie Castigliano jest jedną z podstawowych metod energetycznych stosowanych do obliczania przemieszczeń w układach sprężystych. Metoda ta polega na różniczkowaniu całkowitej energii sprężystej układu względem siły, dla której przemieszczenie jest szukane. Twierdzenie to jest szczególnie użyteczne w analizie konstrukcji statycznie wyznaczalnych, gdzie umożliwia obliczenie zarówno przemieszczeń pionowych, jak i kątów obrotu. Proces obliczania wymaga ustalenia funkcji momentu zginającego dla elementów konstrukcji, a następnie zróżniczkowania tej funkcji względem odpowiedniej siły lub momentu.
- jaki jest algorytm obliczania przemieszczeń,
- jak rozważać przypadki kiedy siła uogólniona jest w miejscu i na kierunku
szukanego przemieszczenia, a jak kiedy siły nie ma,
- jak obliczyć ugięcie i kąt obrotu w dowolnym punkcie belki.
Wartość energii sprężystej nagromadzonej w pręcie zginanym (wpływ samego momentu zginającego).
\( U^M=\int_{0}^{l}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx \)
W przypadku skokowej zmiany przekroju pręta lub układu złożonego z kilku prętów – energię sprężystą wyznaczamy jako sumę energii nagromadzonej na długości \(l_i\) pręta
\( U^M=\sum \int_{0}^{l_i}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx \)
A po zróżniczkowaniu otrzymamy:
\( \delta_i=\sum \frac{1}{EI} \int_{0}^{l_i} (M_g \cdot \frac{\partial M_g}{\partial P_i}) dx \)
Powyższy wzór ma charakter ogólny.
Przemieszczenia w konstrukcjach są kluczowym aspektem wytrzymałości materiałów, ponieważ pozwalają na ocenę, jak konstrukcja będzie się deformować pod wpływem różnych obciążeń. Zrozumienie i umiejętność obliczania tych przemieszczeń jest niezbędne dla inżynierów, aby zapewnić, że konstrukcje będą bezpieczne, trwałe i spełniające wymagania użytkowe.
Z tego kursu dowiesz się
- czym od strony teoretycznej jest twierdzenie Castigliano,- jaki jest algorytm obliczania przemieszczeń,
- jak rozważać przypadki kiedy siła uogólniona jest w miejscu i na kierunku
szukanego przemieszczenia, a jak kiedy siły nie ma,
- jak obliczyć ugięcie i kąt obrotu w dowolnym punkcie belki.
Wartość energii sprężystej nagromadzonej w pręcie zginanym (wpływ samego momentu zginającego).
\( U^M=\int_{0}^{l}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx \)
W przypadku skokowej zmiany przekroju pręta lub układu złożonego z kilku prętów – energię sprężystą wyznaczamy jako sumę energii nagromadzonej na długości \(l_i\) pręta
\( U^M=\sum \int_{0}^{l_i}{\frac{M_g^2}{2EI}}dx \)
A po zróżniczkowaniu otrzymamy:
\( \delta_i=\sum \frac{1}{EI} \int_{0}^{l_i} (M_g \cdot \frac{\partial M_g}{\partial P_i}) dx \)
Powyższy wzór ma charakter ogólny.
- W przypadku wyznaczania ugięcia, różniczkujemy moment gnący względem siły działającej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.
- Gdy wyznaczamy kąt obrotu, różniczkujemy moment gnący względem momentu przyłożonego jak opisano wyżej.
Przemieszczenia w konstrukcjach są kluczowym aspektem wytrzymałości materiałów, ponieważ pozwalają na ocenę, jak konstrukcja będzie się deformować pod wpływem różnych obciążeń. Zrozumienie i umiejętność obliczania tych przemieszczeń jest niezbędne dla inżynierów, aby zapewnić, że konstrukcje będą bezpieczne, trwałe i spełniające wymagania użytkowe.
Przykład 1
Treść
Oblicz ugięcie i kąt obrotu w miejscu przyłożenia siły skupionej. Obciążenie na belce jest w [kN].
Rozwiązanie
Najpierw obliczymy ugięcie w punkcie B.
W przypadku wyznaczania ugięcia różniczkujemy funkcję momentu gnącego względem siły działającej w miejscu i na kierunku szukanego przemieszczenia.Aby móc różniczkować względem siły, musimy jej nadać jakieś oznaczenie, przyjmijmy P=30 [kN].
Obliczamy reakcje podporowe
\( \begin{align} & \sum{Y}=0\\ & R_{CY}=P^*\\ & \sum{M_C}=0\\ & M_{A}-P^*\cdot 2=0\\ & M_{A}=2P^* \end{align} \)Funkcje momentu przedział A-B => x∈<0;2)m i przedział B-C => x∈<3;5)m \( \begin{aligned} &M_{g1}^{AB}=M_A=2P^*\\ &M_{g2}^{BC}=2P^*-P^*\cdot (x-3)\\ \end{aligned} \)
Rozwiązanie druga część - obliczenie kąta obrotu
Zauważamy, że NIE MA w punkcie B siły odpowiadającej szukanemu przemieszczeniu (szukanemu kątowi obrotu odpowiada moment skupiony).
Jeśli w zadaniu nie jest przyłożony moment skupiony tam, gdzie mamy obliczyć kąt obrotu, to należy dołożyć fikcyjny moment \(M^*=0\), policzyć reakcje z uwzględnieniem tego momentu, wykonać różniczkowanie po \(M^*\), a na ostatnim etapie podstawić \(M^*=0\).
ZOBACZ TEŻ
