Jak sprawdzić równowagę węzła w ramie?

Przykład 1

Równowaga węzła prostokątnego

Rys2. Temat - przykład 1

Jest to jeden z przykładów z naszej bazy rozwiązań, do której odnośniki są powyżej.
Dla tego przykładu narysowano wykresy sił wewnętrznych jak poniżej:

Rys3. Przykład 1 - wykresy sił wewnętrznych

Sprawdźmy równowagę węzła do którego jest przyłożony moment skupiony 10 kNm.

Rys4. Wycięcie pierwszego węzła do równowagi

Warto zaznaczyć, że wycinamy punkt - węzeł, przecinamy przez dochodzące do węzła pręty nieskończenie blisko węzła, nie widzimy więc obciążenia ciągłego z pręta poziomego.
Z prawej strony tego węzła patrząc na wykresy mamy siły: tnąca +6,67kN, normalna +10kN, moment gnący +60kNm.
Patrzymy na konwencję znakowania, widok z prawej strony - tam są zaznaczone zwroty dodatnich sił wewnętrznych, na analizowanym wykresie wszystkie siły są dodatnie, więc mają takie zwroty jak na konwencji znakowania powyżej (widok z prawej strony).

Rys5. Węzeł pierwszy - zaznaczenie sił przekrojowych od prawej strony

Jeśli chodzi o pręt pionowy to dobrze jest przyjąć sobie z prawej albo lewej strony pręta "spody" (to znaczy umowny dół pręta), aby sobie uprościć korzystanie z konwencji znakowania, na której też zaznaczone są spody (na dole).
Przyjmijmy spody po prawej stronie pręta pionowego - i teraz mamy dwie możliwości - albo obracamy pręt pionowy tak, żeby mieć spody na dole, wtedy mamy taki przekrój wycinając węzeł, że patrzymy od lewej strony.
Albo obracamy konwencję znakowania spodami do przyjętych spodów (czyli przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o 90 stopni) - i tą wersję pokażę poniżej.

Rys6. Obrócenie i dopasowanie spodów dla pręta pionowego

Dla tak przyjętych spodów widzimy jakie zwroty siły normalnej, tnącej i momentu są dodatnie. Na wykresie powyżej, pod węzłem który analizujemy mamy: siła normalna -6,67 kN, siła tnąca +10 kN, moment gnący +50 kNm.
Zaznaczamy więc te siły pod przekrojem z odpowiednimi zwrotami, dla siły normalnej, która jest ujemna zwrot jest przeciwny niż na konwencji znakowania, a dla siły tnącej i momentu gnącego zwroty są zgodne z konwencją.

Rys7. Węzeł pierwszy - zaznaczone wszystkie siły przekrojowe

Teraz już rozpisujemy równania równowagi statycznej:
\begin{aligned} & \Sigma \mathrm{x}=0 \\ & -10+10=0 \\ & 0=0 \\ \\ & \Sigma \mathrm{y}=0 \\ & -6.67+6.67=0 \\ & 0=0 \\ \\ & \Sigma \mathrm{M}=0 \\ & 50-60+10=0 \\ & 0=0 \\ \end{aligned} Sprawdzenie daje pozytywny wynik.

Przykład 2

Równowaga węzła z prętem skośnym

Rys8. Przykład 2 - temat

Kompletne rozwiązanie tego przykładu znajdziesz we wstępie odnośnie sił wewnętrznych w ramach.

Wykresy sił wewnętrznych

Rys9. Wykresy sił wewnętrznych - przykład 2

Sprawdzenie równowagi węzła z prętem skośnym

Momenty w węźle się wyzerowały (przegub), więc nie mamy tutaj żadnych momentów, mamy siły tnące i normalne - odczytujemy je z narysowanych powyżej wykresów.
Pamiętamy o konwencji znakowania, patrząc od prawej strony węzła C na wykresie sił normalnych mamy siłę -8kN, minus oznacza że jest to ściskanie, więc zaznaczamy siłę przy węźle od prawej strony z odpowiednim zwrotem.
Na wykresie sił tnących od prawej strony przy samym węźle mamy -3kN, patrząc od prawej strony dodatnie siły tnące mają zwrot w dół, więc ujemną siłę zaznaczamy ze zwrotem do góry.
W ten sam sposób odczytujemy zwroty i wartości sił z pręta skośnego. Jeśli przyjmiemy spody wewnątrz ramy, to musimy obrócić konwencję znakowania przeciwnie do ruchu wskazówek zegara o pewien kąt żeby dopasować ją do pręta skośnego, patrząc od lewej strony na konwencję znakowania widzimy jak zwrócone są dodatnie siły normalne i tnące od tej strony.
Na wykresie mamy siłę tnącą -3kN i siłę normalną +2,4kN. Tak wygląda wycięty węzeł z odczytanymi siłami przekrojowymi:

Rys10. Wycięty węzeł z prętem skośnym

\( \quad \quad \)

Równania równowagi statycznej \begin{aligned} &\Sigma X = 0\\ &8 - 8 - 2.4 \cdot \cos (\alpha) + 1.8 \cdot \sin (\alpha) = 0\\ &L = P\\ &\Sigma Y = 0\\ &3 - 2.4 \cdot \sin (\alpha) + 1.8 \cdot \cos (\alpha) = 0\\ &L = P \end{aligned}

Musimy zrobić rzutowanie sił z kierunku osi pręta (siła normalna na pręcie) na kierunek poziomy i pionowy. Tak samo musimy zrzutować siłę tnącą.

Rys11. Rysunek pomocniczy do rzutowania sił na składowe

\( \quad \quad \)

Jeśli chodzi o rzutowanie sił na składowe dobrym pomysłem jest narysować sobie taką "pajęczynę" - zrobić taki rysunek na którym zaznaczymy kierunek pionowy, poziomy, oś pręta (kierunek normalny) i prostopadłą do osi pręta (kierunek tnący). Kąt alfa przyjmuję patrząc na ramę między poziomem i osią pręta. Dodatkowo można sobie zaznaczyć zwrot dodatniej siły normalnej i dodatniej siły tnącej, który obowiązuje od tej strony od której patrzymy.

Korzystamy z pajęczyny z zaznaczonymi kątami alfa - przykładamy siłę na rysunek pajęczyny, rysujemy dwie najbliższe składowe, widzimy gdzie jest kąt alfa.
Składowa przy której jest zaznaczony kąt alfa jest mnożona razy cosinus tego kąta, a ta druga razy sinus tego kąta.

Rys12. Rzutowanie siły pod kątem na składowe x i y

\( \quad \quad \)

Przykładowo do rzutowania siły normalnej na składowe moglibyśmy sobie to rozrysować tak jak na rysunku obok.

To tyle, powodzenia przy sprawdzaniu równowagi węzła w ramach!
Poniżej znajdziesz również odnośniki do licznych przykładów rozwiązania zarówno ram prostych jak i z prętem/prętami skośnymi, a także ramy w przegubami.